Deret Pangkat 2

Maret 02, 2016

Deret Pangkat 2

selesaikan persamaan dibawa ini dengan metode deret pangkat.

$\frac{d^2y}{dx^2}-2xy=0$

penyelesainnya mirip dengan yang sebelumnnya, yakni kita misalkan.

    $y=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$
   $y'=\sum_{n=1}^{\infty}na_nx^{n-1}$
   $y'=\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)a_nx^{n-2}$

                                                                  $\frac{d^2y}{dx^2}-2xy=0$
                        $\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)a_nx^{n-2}$ $+2x\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n=0$

                        $\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)x^{n-2}+2\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^{n+1}=0$
kita misalkan
                           $k=n-2\rightarrow n=k+2$ dan
                           $k=n+1\rightarrow n=k-1$

$\sum_{k=0}^{\infty}(k+2)(k+1)a_{k+2} x^k+2\sum_{k=1}^{\infty}a_{k-1}x^k=0$
jika
$k=0\rightarrow (2)(1)a_2 x^0=2a_2$

$2a_2+\sum_{k=1}^{\infty}(k+2)(k+1)a_{k+2}x^k+2\sum_{k=1}^{\infty}a_{k-1}x^k=0$
$2a_2+\sum_{k=1}^{\infty}[(k+2)(k+1)a_{k+2}x^k+2a_{k-1}]x^k=0$
jelas bahwa
$2a_2=0 \rightarrow a_2=0$
juga komponen yang harus nol adalah

         $(k+2)(k+1)a_{k+2}+2a_{k-1}=0$
                                                     $a_{k+2}=-\frac{2a_{k-1}}{(k+2)(k+1}$

sekarang kita subtitusi nilai k=1

sampai

maka di peroleh
a_2=0

                       $a_3=-\frac{a_0}{3}$
                       $a_4=-\frac{a_1}{6}$
                       a_5=0

                       $a_6=\frac{a_0}{45}$
                       $a_7=\frac{a_1}{126}$
                       a_8=0

                       $a_9=\frac{a_0}{1620}$

dengan demikian diperoleh 2 solusi yaitu

1. $a_0=1\rightarrow a_1=0$
2. $a_0=0\rightarrow a_1=1$

untuk kasus 1
                         $y_1(x)=1-\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{6}x^6-\frac{1}{1620}x^9+..........$
untuk kasus 2
                         $y_2(x)=x-\frac{1}{6}x^4+\frac{1}{126}x^7+..........$
dengan demikian dapat ditulis secara lengkap
                        $y_1(x)=a_0[1-\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{6}x^6-\frac{1}{1620}x^9..........]$
                         $y_2(x)=a_1[x-\frac{1}{6}x^4+\frac{1}{126}x^7+..........]$
saya kira ini mudaji...
dan kalau ada pertanyaan, silahkan coment, pertannyaannya tentang tugas kulia juga boleh.
hehehehe nanti kita kerjakan sama-sama.

Cari Blog Ini

FISIKA DAN BAWAH POHON JASMIP

Deret Pangkat 2

Komentar

Posting Komentar

Postingan Populer

Fisika Dasar: Contoh soal percepatan sesaat 2

Fisika Matematika: Transformasi Laplace dari sinh(at)